Irin ajo lọ si agbaye ti ko daju ti mathimatiki

Mo kọ nkan yii ni ọkan ninu awọn agbegbe, lẹhin ikẹkọ ati adaṣe ni kọlẹji ti imọ-ẹrọ kọnputa. Mo dabobo ara mi lodi si atako ti awọn ọmọ ile-iwe ti ile-iwe yii, imọ wọn, ihuwasi si imọ-jinlẹ ati, pataki julọ, awọn ọgbọn ikọni wọn. Eyi... ko si ẹnikan ti o kọ wọn.

Kini idi ti MO fi n daabobo? Fun idi ti o rọrun - Mo wa ni ọjọ ori nigbati, boya, agbaye ti o wa ni ayika wa ko tii loye. Boya Mo n kọ wọn lati ijanu ati unharness ẹṣin, ati ki o ko lati wakọ a ọkọ ayọkẹlẹ? Boya Mo kọ wọn lati kọ pẹlu ikọwe kan? Botilẹjẹpe Mo ni ero ti o dara julọ ti eniyan, Mo ro ara mi “tẹle”, ṣugbọn…

Titi di aipẹ, ni ile-iwe giga, wọn sọrọ nipa awọn nọmba eka. Ati pe ni ọjọ Wẹsidee yii ni Mo wa si ile, jawọ - o fẹrẹ jẹ pe ko si ọkan ninu awọn ọmọ ile-iwe ti o ti kọ kini kini o jẹ ati bii o ṣe le lo awọn nọmba wọnyi. Diẹ ninu awọn wo gbogbo mathimatiki bi gussi ni ẹnu-ọna ya. Ṣùgbọ́n ó tún yà mí lẹ́nu gan-an nígbà tí wọ́n sọ fún mi bí mo ṣe lè kẹ́kọ̀ọ́. Ni kukuru, wakati kọọkan ti ikẹkọ jẹ wakati meji ti iṣẹ amurele: kika iwe kika, kikọ bi o ṣe le yanju awọn iṣoro lori koko-ọrọ kan, ati bẹbẹ lọ. Lehin ti a ti pese sile ni ọna yii, a wa si awọn adaṣe, nibiti a ti mu ohun gbogbo dara ... Ni idunnu, awọn ọmọ ile-iwe, ti o han gbangba, ro pe joko ni iwe-ẹkọ - julọ nigbagbogbo n wo window - tẹlẹ ṣe idaniloju titẹsi imo sinu ori.

Duro! Eyi to. Emi yoo ṣe apejuwe idahun mi si ibeere ti Mo gba lakoko kilasi pẹlu awọn ti o ni iwe-ẹkọ iwe-ẹkọ ti Orilẹ-ede Awọn ọmọde ti Orilẹ-ede, ile-ẹkọ ti o ṣe atilẹyin awọn ọmọde abinibi lati gbogbo orilẹ-ede naa. Ibeere naa (tabi dipo aba) ni:

— Ṣe o le sọ fun wa nkankan nipa awọn nọmba ti kii ṣe otitọ?

“Dajudaju,” Mo dahun. 

Awọn otito ti awọn nọmba

"Ọrẹ kan jẹ mi miiran, ọrẹ ni ipin ti awọn nọmba 220 ati 284," Pythagoras sọ. Koko-ọrọ nibi ni pe apao awọn olupin ti nọmba 220 jẹ 284, ati apapọ awọn olupin ti nọmba 284 jẹ 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = mẹta

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Ibaraẹnisọrọ ti o nifẹ si laarin awọn nọmba 220 ati 284 ni eyi: awọn nọmba nomba mẹtadinlogun ti o ga julọ jẹ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , ati 59.

Apapọ wọn jẹ 2x220, ati apapọ awọn onigun mẹrin jẹ 59x284.

Akoko. Ko si ero ti "nọmba gidi". O dabi pe lẹhin kika nkan kan nipa awọn erin, o beere, "Nisisiyi a yoo beere fun awọn ti kii ṣe erin." Nibẹ ni o wa odidi ati ti kii-odidi, onipin ati irrational, ṣugbọn nibẹ ni o wa ko si unreal. Ni pato: awọn nọmba ti kii ṣe gidi ni a ko pe ni aitọ. Ọpọlọpọ awọn orisi ti "awọn nọmba" ni o wa ni mathimatiki, nwọn si yato si kọọkan miiran, bi - lati ya a zoological lafiwe - ẹya erin ati awọn ẹya earthworm.

Ẹlẹẹkeji, a yoo ṣe awọn iṣẹ ṣiṣe ti o le mọ tẹlẹ pe o jẹ eewọ: gbigbe awọn gbongbo onigun mẹrin ti awọn nọmba odi. O dara, mathimatiki yoo bori iru awọn idena. Ṣe o jẹ oye botilẹjẹpe? Ni mathimatiki, bi ninu eyikeyi miiran Imọ, boya a yii ti nwọ lailai sinu ibi ipamọ ti awọn imo da ... lori awọn oniwe-elo. Ti ko ba wulo, lẹhinna o pari sinu idọti, lẹhinna ni diẹ ninu awọn idoti ti itan imọ. Laisi awọn nọmba ti Mo sọrọ nipa ni opin nkan yii, ko ṣee ṣe lati ṣe idagbasoke mathematiki. Ṣugbọn jẹ ki a bẹrẹ pẹlu awọn ohun kekere diẹ. Kini awọn nọmba gidi, o mọ. Wọn kun laini nọmba ni iwuwo ati laisi awọn ela. O tun mọ kini awọn nọmba adayeba jẹ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - gbogbo wọn kii yoo baamu ni iranti paapaa ti o tobi julọ. Wọn tun ni orukọ lẹwa: adayeba. Wọn ni awọn ohun-ini ti o nifẹ pupọ. Bawo ni o ṣe fẹran eyi:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Karl Lindenholm, ati Leopold Kronecker (1823–1891) sọ ọ́ ní ṣókí pé: “Ó jẹ́ ìwà ẹ̀dá láti nífẹ̀ẹ́ sí àwọn nọ́ńbà àdánidá, iṣẹ́ ènìyàn ni Ọlọ́run dá! Awọn ida (ti a npe ni awọn nọmba onipin nipasẹ awọn mathimatiki) tun ni awọn ohun-ini iyalẹnu:

ati ni dọgba:

o le, ti o bẹrẹ lati apa osi, pa awọn pluses ki o rọpo wọn pẹlu awọn ami isodipupo - ati dọgbadọgba yoo wa ni otitọ:

Ati bẹbẹ lọ.

Bi o ṣe mọ, fun awọn ida a/b, nibiti a ati b jẹ odidi, ati b ≠ 0, wọn sọ onipin nọmba. Ṣugbọn nikan ni Polish wọn pe ara wọn pe. Wọn sọ English, French, German ati Russian. onipin nọmba. Ni ede Gẹẹsi: awọn nọmba onipin. Awọn nọmba airotẹlẹ òmùgọ̀ ni, òmùgọ̀ ni. A tun sọ pólándì nipa awọn imọ-itumọ, awọn imọran ati awọn iṣe - eyi jẹ isinwin, airotẹlẹ, ko ṣe alaye. Wọ́n ní àwọn obìnrin ń bẹ̀rù eku – ṣe bẹ́ẹ̀ kọ́ ni asán bí?

Ni igba atijọ, awọn nọmba ní ọkàn. Ọ̀kọ̀ọ̀kan wọn túmọ̀ sí nǹkan kan, ọ̀kọ̀ọ̀kan ṣàpẹẹrẹ ohun kan, ọ̀kọ̀ọ̀kan wọn ṣàpẹẹrẹ ẹ̀ka kan lára ​​ìṣọ̀kan Àgbáyé yẹn, ìyẹn ni, ní èdè Gíríìkì, Cosmos. Ọrọ naa gan-an “cosmos” tumọ si “ibere, aṣẹ”. Awọn pataki julọ jẹ mẹfa (nọmba pipe) ati mẹwa, apapọ awọn nọmba itẹlera 1+2+3+4, ti o jẹ awọn nọmba miiran ti aami-ami ti wa laaye titi di oni. Nitorinaa Pythagoras kọwa pe awọn nọmba jẹ ibẹrẹ ati orisun ti ohun gbogbo, ati wiwa nikan awọn nọmba alailoye yi pada awọn Pythagorean ronu si ọna geometry. A mọ ero lati ile-iwe pe

√2 jẹ nọmba ti ko ni imọran

Fun a ro pe o wa: ati pe ida yii ko le dinku. Ni pataki, mejeeji p ati q jẹ ajeji. Jẹ ká square: 2q²=p². Nọmba p ko le jẹ ajeji, lati igba naa p² yoo tun jẹ, ati apa osi ti imudogba jẹ ọpọ ti 2. Nitorinaa, p jẹ paapaa, ie, p = 2r, nitorinaa p²= 4r². A din idogba 2q²= 4r² nipa 2. A gba q²= 2r² ati pe a rii pe q tun gbọdọ jẹ paapaa, eyiti a ro pe kii ṣe bẹ. Abajade ilodi si pari awọn ẹri - Ilana yii nigbagbogbo le rii ni gbogbo iwe mathematiki. Ẹri ayidayida yii jẹ ẹtan ayanfẹ ti awọn sophists.

Iwọn titobi yii ko le ni oye nipasẹ awọn Pythagoreans. Ohun gbogbo gbọdọ ni anfani lati ṣe apejuwe nipasẹ awọn nọmba, ati diagonal ti square kan, eyiti ẹnikẹni le fa pẹlu igi kan kọja iyanrin, ko ni, eyini ni, wiwọn, ipari. “Ìgbàgbọ́ wa já sí asán,” ó dà bíi pé àwọn Pythagorea sọ. Ki lo se je be? O jẹ iru ... aimọgbọnwa. Awọn Union gbiyanju lati fi ara rẹ pamọ nipasẹ awọn ọna ẹgbẹ. Ẹnikẹni ti o ba ni igboya lati ṣafihan aye wọn awọn nọmba alailoye, ikú ni kí wọ́n fìyà jẹ, àti pé, ó hàn gbangba pé, ọ̀gá náà fúnra rẹ̀ ló ṣe ìdájọ́ àkọ́kọ́.

Ṣugbọn "ero naa kọja lainidi." Igba wura ti de. Awọn Hellene ṣẹgun awọn ara Persia (Marathon 490, Block 479). Ijọba tiwantiwa ti ni okun, awọn ile-iṣẹ tuntun ti ironu imọ-jinlẹ ati awọn ile-iwe tuntun dide. Awọn ara Pythagorea tun n tiraka pẹlu awọn nọmba ti ko ni imọran. Diẹ ninu awọn nwasu: a yoo ko ye yi ohun ijinlẹ; a le ronu nikan ati iyalẹnu ni Uncharted. Awọn igbehin jẹ diẹ pragmatic ati ki o ko bọwọ fun awọn ohun ijinlẹ. Ni akoko yẹn, awọn iṣelọpọ ọpọlọ meji han ti o jẹ ki o ṣee ṣe lati loye awọn nọmba aiṣedeede. Otitọ pe a loye wọn daradara loni jẹ ti Eudoxus (orundun XNUMXth BC), ati pe o jẹ nikan ni opin ọrundun XNUMXth ti German mathimatiki Richard Dedekind fun ẹkọ ti Eudoxus ni idagbasoke to dara ni ibamu pẹlu awọn ibeere ti lile lile. mathematiki kannaa.

Ibi ti isiro tabi ijiya

Ṣe o le gbe laisi awọn nọmba? Paapa ti ohun ti igbesi aye yoo jẹ ... A yoo ni lati lọ si ile itaja lati ra bata pẹlu ọpa, eyi ti a ṣe iwọn gigun ẹsẹ tẹlẹ. "Emi yoo fẹ apples, ah, nibi o wa!" - a yoo fihan awọn ti o ntaa ni ọja naa. "Bawo ni o jina lati Modlin si Nowy Dwur Mazowiecki"? "Lẹwa sunmọ!"

Awọn nọmba ti wa ni lo lati wiwọn. Pẹlu iranlọwọ wọn, a tun ṣafihan ọpọlọpọ awọn imọran miiran. Fun apẹẹrẹ, iwọn maapu naa fihan iye agbegbe ti orilẹ-ede ti dinku. Iwọn meji-si-ọkan, tabi nirọrun 2, ṣalaye otitọ pe ohun kan ti ni ilọpo meji ni iwọn. Jẹ ki a sọ ni mathematiki: isokan kọọkan ni ibamu si nọmba kan - iwọn rẹ.

Iṣẹ-ṣiṣe naa. A ṣe ẹda xerographic kan, ti nmu aworan ga ni ọpọlọpọ igba. Lẹhinna ajẹku ti o pọ si tun pọ si awọn akoko b. Kini iwọn titobi gbogbogbo? Idahun: a × b pipọ nipasẹ b. Awọn iwọn wọnyi nilo lati di pupọ. Nọmba “iyokuro ọkan”, -1, ni ibamu si iṣojuuwọn kan ti o wa ni aarin, iyẹn ni yiyi iwọn 180. Nọmba wo ni o ni ibamu si titan iwọn 90 kan? Ko si iru nọmba. O jẹ, o jẹ… tabi dipo, yoo jẹ laipẹ. Ṣe o ṣetan fun ijiya iwa? Ṣe igboya ki o mu gbongbo square ti iyokuro ọkan. Mo n gbo? Kini o ko le? Lẹhinna, Mo sọ fun ọ pe ki o jẹ akọni. Fa jade! Hey, daradara, fa, fa ... Emi yoo ṣe iranlọwọ ... Nibi: -1 Ni bayi ti a ni, jẹ ki a gbiyanju lati lo ... Dajudaju, ni bayi a le jade awọn gbongbo ti gbogbo awọn nọmba odi, fun apẹẹrẹ.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Laibikita ti ibanujẹ ọpọlọ o jẹ.” Eyi ni ohun ti Girolamo Cardano kowe ni ọdun 1539, n gbiyanju lati bori awọn iṣoro ọpọlọ ti o ni nkan ṣe pẹlu - bi o ti pẹ lati pe - riro titobi. O ro awọn wọnyi ...

...Iṣẹ-ṣiṣe naa. Pin 10 si awọn ẹya meji, ọja ti o jẹ 40. Mo ranti pe lati iṣẹlẹ iṣaaju o kọ nkan bi eyi: Dajudaju ko ṣeeṣe. Sibẹsibẹ, jẹ ki a ṣe eyi: pin 10 si awọn ẹya dogba meji, kọọkan dogba si 5. Ṣe isodipupo wọn - o wa ni jade 25. Lati abajade 25, bayi yọkuro 40, ti o ba fẹ, ati pe o gba -15. Bayi wo: √-15 ti a ṣafikun ati yọkuro lati 5 yoo fun ọ ni ọja ti 40. Iwọnyi ni awọn nọmba 5-√-15 ati 5 + √-15. Ijẹrisi abajade ni a ṣe nipasẹ Cardano gẹgẹbi atẹle:

“Laibikita irora ọkan ti o jẹ, sọ 5 + √-15 di pupọ nipasẹ 5-√-15. A gba 25 - (-15), eyiti o dọgba si 25 + 15. Nitorina, ọja naa jẹ 40 .... O soro looto."

O dara, melo ni: (1 + √-1) (1-√-1)? Jẹ ki a pọ. Ranti pe √-1 × √-1 = -1. Nla. Bayi iṣẹ-ṣiṣe ti o nira diẹ sii: lati a + b√-1 si ab√-1. Kini o ti ṣẹlẹ? Dajudaju, bii eleyi: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Kini o yanilenu nipa eyi? Fun apẹẹrẹ, otitọ pe a le ṣe awọn ọrọ sisọ ti a "ko mọ tẹlẹ." Ilana isodipupo abbreviated fun²-b² Ṣe o ranti agbekalẹ fun²+b² kii ṣe bẹ, nitori ko le jẹ. Ni awọn ašẹ ti gidi awọn nọmba, awọn multinomial²+b² o jẹ eyiti ko yẹ. Jẹ ká tọkasi "wa" square root ti "iyokuro ọkan" pẹlu awọn lẹta i.²= -1. O jẹ nọmba akọkọ “aiṣedeede”. Ati pe eyi ni ohun ti o ṣapejuwe iyipada iwọn 90 ti ọkọ ofurufu kan. Kí nìdí? Lẹhinna,²= -1, ati apapọ ọkan 90-ìyí yiyi ati awọn miiran 180-ìyí yiyi yoo fun a 45-ìyí yiyi. Iru iyipo wo ni a ṣe apejuwe? O han ni a XNUMX ìyí Tan. Kini itumo -i? O jẹ idiju diẹ diẹ sii:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Nitorina -i tun ṣe apejuwe yiyi iwọn 90 kan, o kan ni idakeji ti iyipo i. Ewo ni o ku ati ewo ni o tọ? O gbọdọ ṣe ipinnu lati pade. A ro pe nọmba i pato kan yiyi ni a itọsọna ti mathematicians ro rere: counterclockwise. Nọmba naa -i ṣe apejuwe yiyi ni itọsọna ti awọn itọka n gbe.

Ṣugbọn ṣe awọn nọmba bii emi ati -i wa bi? Ṣe! A kan mu wọn wa si aye. Mo n gbo? Ti won wa nikan ni ori wa? Daradara kini lati reti? Gbogbo awọn nọmba miiran tun wa ninu ọkan wa nikan. A nilo lati rii boya awọn nọmba ọmọ tuntun wa ye. Ni deede diẹ sii, boya apẹrẹ jẹ ọgbọn ati boya wọn yoo wulo fun nkan kan. Jọwọ gba ọrọ mi fun pe ohun gbogbo wa ni ibere ati pe awọn nọmba tuntun wọnyi ṣe iranlọwọ gaan. Awọn nọmba bii 3+i, 5-7i, diẹ sii ni gbogbogbo: a+bi ni a pe ni awọn nọmba eka. Mo fihan ọ bi o ṣe le gba wọn nipa yiyi ọkọ ofurufu naa. Wọn le wọle ni awọn ọna oriṣiriṣi: bi awọn aaye ninu ọkọ ofurufu, bi diẹ ninu awọn ilopọ pupọ, bii iru awọn nọmba nọmba kan… ati ni akoko kọọkan wọn jẹ kanna: idogba x² +1=0 ko si eroja... hocus pocus ti wa tẹlẹ!!!! Ẹ jẹ́ ká yọ̀, ká sì yọ̀!!!

Ipari ti tour

Eyi pari irin-ajo akọkọ wa ti orilẹ-ede ti awọn nọmba iro. Ninu awọn miiran unearthly awọn nọmba, Emi o si tun darukọ awon ti o ni ohun ailopin nọmba ti awọn nọmba ni iwaju, ati ki o ko sile (ti won ti wa ni a npe ni 10-adic, fun wa p-adic jẹ diẹ pataki, ibi ti p ni a nomba nọmba), fun apẹẹrẹ X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Jọwọ ka X ka². Nitori? Kini ti a ba ṣe iṣiro onigun mẹrin ti nọmba kan ti o tẹle pẹlu nọmba ailopin ti awọn nọmba? O dara, jẹ ki a ṣe kanna. A mọ pe x² = H.

Jẹ ki a wa iru nọmba miiran pẹlu nọmba ailopin ti awọn nọmba ni iwaju ti o ni itẹlọrun idogba naa. Imọran: onigun mẹrin nọmba ti o pari ni mẹfa tun pari ni mẹfa. Awọn onigun mẹrin ti nọmba ti o pari ni 76 tun pari ni 76. Awọn onigun mẹrin nọmba ti o pari ni 376 tun pari ni 376. Awọn onigun mẹrin ti nọmba ti o pari ni 9376 tun pari ni 9376. Awọn onigun mẹrin nọmba ti o pari ni XNUMX. XNUMX lori… Awọn nọmba tun wa ti o kere pupọ pe, ni rere, wọn wa kere ju nọmba rere eyikeyi miiran. Wọn kere pupọ pe nigbami o to lati ṣe iwọn wọn lati gba odo. Awọn nọmba wa ti ko ni itẹlọrun ipo a × b = b × a. Awọn nọmba ailopin tun wa. Awọn nọmba adayeba melo ni o wa? Ailopin ọpọlọpọ? Bẹẹni, ṣugbọn melo ni? Bawo ni a ṣe le ṣe afihan eyi bi nọmba? Idahun: o kere julọ ti awọn nọmba ailopin; o ti samisi pẹlu lẹta lẹwa: A ati afikun pẹlu atọka odo A₀ , aleph-odo.

Awọn nọmba tun wa ti a ko mọ tẹlẹ… tabi ti o le gbagbọ tabi ko gbagbọ bi o ṣe fẹ. Ati sisọ iru bẹ: Mo nireti pe o tun fẹran Awọn nọmba ti kii ṣe otitọ, Awọn nọmba Awọn Eya irokuro.