Awọn awoṣe ti o rọrun pẹlu ihuwasi eka ie rudurudu

Kọmputa naa jẹ irinṣẹ ti o npọ sii nipasẹ awọn onimọ-jinlẹ lati ṣii awọn aṣiri ti o farapamọ ni pẹkipẹki nipasẹ ẹda. Awoṣe, pẹlu adanwo ati imọran, ti di ọna kẹta lati ṣe iwadi ni agbaye.

Ni ọdun mẹta sẹyin, ni University of Silesia, a bẹrẹ eto kan lati ṣepọ awọn ọna kọmputa sinu ẹkọ. Bi abajade, ọpọlọpọ awọn ohun elo didactic ti o ni itara pupọ ti ṣẹda, ti o jẹ ki o rọrun ati jinle lati kawe ọpọlọpọ awọn akọle. Python jẹ ohun elo akọkọ, eyiti, pẹlu agbara ti awọn ile-ikawe imọ-jinlẹ ti o wa, ṣee ṣe ojutu ti o dara julọ fun “awọn idanwo kọnputa” pẹlu awọn idogba, awọn aworan tabi data. Ọkan ninu awọn imuse ti o nifẹ julọ ti ibi-iṣẹ iṣẹ pipe ni Sage [2]. O jẹ iṣọpọ ṣiṣi ti eto algebra kọnputa pẹlu ede Python, ati pe o tun fun ọ laaye lati bẹrẹ ṣiṣẹ lẹsẹkẹsẹ nipa lilo ẹrọ aṣawakiri wẹẹbu kan ati ọkan ninu awọn aṣayan iwọle ti o ṣeeṣe nipasẹ iṣẹ awọsanma kan [3] tabi olupin iširo kan lori eyiti ibaraenisepo. ti ikede yi article da lori [4].

Idarudapọ ni abemi

Ni awọn ọdun ibẹrẹ rẹ ni Ile-ẹkọ giga Oxford, onimọ-jinlẹ Ilu Ọstrelia Robert May ṣe iwadi awọn abala imọ-jinlẹ ti awọn agbara ti ẹda eniyan. O ṣe akopọ iṣẹ rẹ ninu iwe kan ti o farahan ninu iwe akọọlẹ Iseda pẹlu akọle akikanju “Awọn awoṣe mathematiki ti o rọrun pẹlu awọn agbara ti o ni idiju pupọ.” Ni awọn ọdun diẹ, iwe yii ti di ọkan ninu awọn iṣẹ toka julọ ni imọ-jinlẹ imọ-jinlẹ. Kí ló fa irú ìfẹ́ bẹ́ẹ̀ nínú iṣẹ́ yìí?

Iṣoro Ayebaye ti awọn agbara agbara olugbe ni lati ṣe iṣiro iye olugbe iwaju ti ẹda ti a fun, fun ipo lọwọlọwọ rẹ. Ni mathematiki, awọn ilana ilolupo ti o rọrun julọ ni eyiti igbesi aye iran kan ti olugbe kan duro ni akoko kan. Apeere to dara ni iye eniyan ti awọn kokoro ti o faragba metamorphosis pipe ni akoko kan, gẹgẹbi awọn labalaba. Akoko ti pin nipa ti ara si awọn akoko ọtọtọ2 ti o baamu si awọn akoko igbesi aye ti olugbe. Nitorinaa, awọn idogba ti n ṣapejuwe iru ilolupo eda nipa ti ara ni ohun ti a pe ọtọ akoko, i.e. t = 1,2,3…. Robert May ni ipa, ninu awọn ohun miiran, ninu iru awọn agbara. Ninu ero rẹ, o mu ilolupo eda ni irọrun si eya kan, ti iye eniyan rẹ jẹ iṣẹ ijẹẹmu ti awọn olugbe ọdun ti tẹlẹ. Nibo ni awoṣe yii ti wa?

Idogba ọtọtọ ti o rọrun julọ ti n ṣapejuwe itankalẹ ti olugbe jẹ awoṣe laini:

ibi ti Ni olugbe ni i-th akoko, ati Ni + 1 apejuwe awọn olugbe ni nigbamii ti akoko. O rọrun lati rii pe iru idogba le ja si awọn oju iṣẹlẹ mẹta. Nigbati a = 1, itankalẹ kii yoo yi iwọn olugbe pada, ati <1 nyorisi iparun, ati pe ọran a> 1 tumọ si idagbasoke olugbe ailopin. Eyi yoo ja si aiṣedeede ninu iseda. Niwọn bi ohun gbogbo ti o wa ninu iseda ti ni opin, o jẹ oye lati ṣatunṣe idogba yii si akọọlẹ fun iye awọn orisun to lopin. Fojuinu pe awọn ajenirun jẹ iye kanna ti ọkà ni ọdun kọọkan. Ti awọn kokoro ko ba jẹ diẹ ni nọmba ni akawe si iye ounjẹ ti wọn le ṣe ẹda, wọn le ṣe ẹda ni kikun agbara ibisi, mathematiki pinnu nipasẹ igbagbogbo a> 1. Bibẹẹkọ, bi awọn nọmba kokoro ṣe n pọ si, ounjẹ yoo ṣọwọn ati agbara ibisi yoo dinku. Ninu ọran ti o ṣe pataki, eniyan le fojuinu pe ọpọlọpọ awọn kokoro ni a bi pe wọn jẹ gbogbo ọkà ṣaaju ki wọn to le bibi, ati pe awọn olugbe ku. Awoṣe ti o ṣe akiyesi ipa yii ti iraye si opin si ounjẹ ni akọkọ dabaa nipasẹ Verhulst ni ọdun 1838. Ni awoṣe yii, oṣuwọn idagba kii ṣe igbagbogbo, ṣugbọn da lori ipo ti olugbe:

Ibasepo laarin oṣuwọn idagba a ati Ni yẹ ki o ni ohun-ini wọnyi: ti iye eniyan ba pọ si, iwọn idagba yẹ ki o dinku nitori wiwọle si ounjẹ nira. Nitoribẹẹ, awọn iṣẹ lọpọlọpọ wa pẹlu ohun-ini yii: iwọnyi jẹ awọn iṣẹ oke-isalẹ. Verhulst dabaa ibatan wọnyi:

nibiti a> 0 ati nigbagbogbo K> 0 ṣe afihan awọn orisun ounje ati pe a pe ni agbara ti ayika. Bawo ni iyipada ninu K ṣe ni ipa lori oṣuwọn idagbasoke olugbe? Ti K ba pọ si, Ni/K dinku. Ni ọna, eyi nyorisi otitọ pe 1-Ni / K pọ si, eyi ti o tumọ si pe o pọ sii. Eyi tumọ si pe oṣuwọn idagbasoke n pọ si ati pe awọn olugbe n dagba ni iyara. Nitorinaa, jẹ ki a yipada awoṣe ti tẹlẹ (1) nipa ro pe oṣuwọn idagba yatọ bi ni idogba (3). Lẹhinna a gba idogba naa

Idogba yii le jẹ kikọ bi idogba isọdọtun

ibi ti xi = Ni / K ati xi + 1 = Ni + 1 / K ṣe afihan awọn iye olugbe ti a ti tunṣe ni akoko i ati ni akoko i + 1. Idogba (5) ni a npe ni idogba logistic.

O le dabi pe pẹlu iru iyipada kekere kan awoṣe wa rọrun lati ṣe itupalẹ. Jẹ ká ṣayẹwo o jade. Jẹ ki a gbero idogba (5) fun paramita a = 0.5, bẹrẹ lati olugbe ibẹrẹ x0 = 0.45. Awọn iye olugbe itẹlera le ṣee gba ni lilo idogba isọdọtun (5):

x₁= ake₀(1 p₀)

x₂= ake₁(1 p₁)

x₃= ake₂(1 p₂)

Lati dẹrọ awọn iṣiro ni (6), a le lo eto atẹle (a ti kọ ọ ni Python ati pe o le ṣiṣẹ, ninu awọn ohun miiran, lori pẹpẹ Sage. A ṣeduro pe ki o ka iwe naa http://icse.us. edu .pl/e-book.), Simulating wa awoṣe:

a = 0.5 x = 0.45 fun mi ni ibiti o wa (10):      x = a*x*(1–x)      titẹ x

A ṣe iṣiro awọn iye itẹlera ti xi ati ṣe akiyesi pe wọn ṣọ lati odo. Nipa ṣiṣe idanwo pẹlu koodu ti o wa loke, o tun rọrun lati rii pe eyi jẹ otitọ laibikita iye ibẹrẹ ti x0. Eyi tumọ si pe awọn olugbe n ku nigbagbogbo.

Ni ipele keji ti itupalẹ, a mu iye ti paramita a si eyikeyi iye ni ibiti ae (1,3). O wa ni pe lẹhinna ọna xi lọ si nọmba kan x *> 0. Itumọ eyi lati oju-ọna ilolupo, a le sọ pe iwọn olugbe ti wa ni ipilẹ ni ipele kan, eyiti ko yipada lati akoko si akoko. O tọ lati ṣe akiyesi pe iye x * ko dale lori ipo ibẹrẹ x0. Eyi ni ipa ti ilolupo ilolupo fun imuduro - olugbe ṣe atunṣe iwọn rẹ si agbara lati jẹun funrararẹ. Iṣiro, wọn sọ pe eto naa duro si aaye ti o wa titi iduroṣinṣin, i.e. itelorun imudogba x = f(x) (eyi tumọ si pe ni akoko to nbọ ipinle jẹ kanna bi ni akoko iṣaaju). Lilo Sage, a le foju inu wo itankalẹ yii ni ayaworan nipa siseto olugbe dipo akoko.

Ipa imuduro yii ni a nireti nipasẹ awọn oniwadi, ati pe idogba eekadẹri (5) kii yoo ti fa akiyesi pupọ bi kii ṣe fun iyalẹnu naa. O wa ni pe fun awọn iye kan ti paramita, awoṣe (5) huwa ni ọna airotẹlẹ. Ni akọkọ, awọn ipinlẹ igbakọọkan ati igbakọọkan wa. Ni ẹẹkeji, pẹlu igbesẹ akoko kọọkan olugbe n yipada lainidi, bii gbigbe laileto. Kẹta, ifamọ nla wa si awọn ipo ibẹrẹ: awọn ipo ibẹrẹ ti o fẹrẹẹ meji ti ko ṣe iyatọ ja si itankalẹ olugbe ti o yatọ patapata. Gbogbo awọn ẹya wọnyi jẹ ihuwasi ti ihuwasi ti o jọra gbigbe laileto patapata ati pe a pe ni rudurudu ipinnu.

Jẹ ki a ṣawari ohun-ini yii!

Ni akọkọ, jẹ ki a ṣeto iye paramita a = 3.2 ki o wo itankalẹ naa. O le dabi iyanilẹnu pe ni akoko yii awọn olugbe ko de iye kan, ṣugbọn meji, eyiti o waye ni itẹlera ni gbogbo akoko miiran. Sibẹsibẹ, o wa jade pe awọn iṣoro ko pari nibẹ. Ni a = 4 eto ko ṣe asọtẹlẹ mọ. Jẹ ká wo ni Figure (2) tabi ina kan ọkọọkan ti awọn nọmba ara wa nipa lilo kọmputa kan. Awọn abajade yoo han lati jẹ laileto odasaka ati pe o yatọ pupọ fun awọn olugbe ibẹrẹ oriṣiriṣi oriṣiriṣi. Sibẹsibẹ, oluka akiyesi yẹ ki o tako. Bawo ni eto ti a ṣalaye nipasẹ idogba ipinnu1, paapaa ọkan ti o rọrun pupọ, ṣe huwa lainidi? O dara, boya.

Ẹya pataki ti eto yii jẹ ifamọra iyalẹnu si awọn ipo ibẹrẹ. O to lati bẹrẹ pẹlu awọn ipo ibẹrẹ meji ti o yatọ nipasẹ apakan kan ni miliọnu kan, ati ni awọn igbesẹ diẹ a yoo gba awọn iye olugbe ti o yatọ patapata. Jẹ ki a ṣayẹwo lori kọnputa:

a = 4.0

x = 0.123 ìwọ = 0.123 + 0.000001 PKC = [] fun mi ni ibiti o wa (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) titẹ x, y

Eyi ni awoṣe ti o rọrun ti itankalẹ ipinnu. Ṣugbọn ipinnu ipinnu yii jẹ ẹtan, o jẹ ipinnu mathematiki nikan. Lati oju iwoye ti o wulo, eto naa n huwa lainidi nitori a ko le ṣe mathematiki pato awọn ipo ibẹrẹ. Ni otitọ, ohun gbogbo ni ipinnu pẹlu iṣedede kan: ẹrọ wiwọn kọọkan ni deede ati pe eyi le fa ailoju ti o wulo ni awọn ọna ṣiṣe ipinnu ti o ni ohun-ini rudurudu. Apẹẹrẹ jẹ awọn awoṣe asọtẹlẹ oju ojo, eyiti o ṣafihan ohun-ini ti rudurudu nigbagbogbo. Eyi ni idi ti awọn asọtẹlẹ oju-ọjọ igba pipẹ jẹ buburu.

Iṣiro ti awọn eto rudurudu jẹ gidigidi soro. Sibẹsibẹ, a le ni irọrun ṣii ọpọlọpọ awọn ohun ijinlẹ ti rudurudu nipa lilo awọn iṣeṣiro kọnputa. Jẹ ki a fa aworan ti a pe ni bifurcation, lori eyiti a yoo gbe awọn iye ti paramita kan lẹgbẹẹ abscissa axis, ati awọn aaye iduro ti o wa titi ti maapu logistic lẹgbẹẹ ipo isọdi. A gba awọn aaye iduroṣinṣin nipa ṣiṣapẹrẹ nọmba nla ti awọn eto nigbakanna ati igbero awọn iye lẹhin awọn igbesẹ iṣiro pupọ. Bi o ṣe le gboju, eyi nilo awọn iṣiro pupọ. Jẹ ki a gbiyanju lati “ṣọra” ilana awọn iye wọnyi:

agbewọle numpy bi np Nx = 300 Iyen = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Nà) a=a+np.zeros((Nx,Na)) fun mi ni ibiti o wa (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] fun a_, x_ in zip (a.flatten (),x.flatten ())] ojuami (pt, iwọn = 1, figsize = (7,5))

A yẹ ki o pari pẹlu nkan ti o jọra si eeya (3). Bawo ni lati ṣe itumọ iyaworan yii? Fun apẹẹrẹ, pẹlu paramita a = 3.3, a ni awọn aaye ti o wa titi 2 iduroṣinṣin (iwọn olugbe jẹ kanna ni gbogbo akoko keji). Sibẹsibẹ, fun paramita a = 3.5 a ni 4 ibakan ojuami (gbogbo kẹrin akoko awọn olugbe ni o ni kanna iwọn), ati fun paramita a = 3.56 a ni 8 ibakan ojuami (gbogbo kẹjọ akoko awọn olugbe ni o ni kanna iwọn). Ṣugbọn fun paramita a≈3.57 a ni ailopin ọpọlọpọ awọn aaye ti o wa titi (iwọn olugbe ko tun ṣe ati yipada ni ọna aisọtẹlẹ). Bibẹẹkọ, nini eto kọnputa kan, a le yi aaye ti paramita a pada ki o ṣawari igbekalẹ jiometirika ailopin ti aworan atọka yii pẹlu ọwọ ara wa.

Eleyi jẹ o kan awọn sample ti tente. Ẹgbẹẹgbẹrun awọn iwe ijinle sayensi ti kọ nipa idogba yii, ṣugbọn o tun tọju awọn aṣiri rẹ. Pẹlu iranlọwọ ti awọn awoṣe kọnputa, o le, paapaa laisi lilo si awọn mathimatiki giga, ṣere bi aṣáájú-ọnà ni agbaye ti awọn agbara alailẹgbẹ. A pe ọ lati ka ẹya ori ayelujara, eyiti o ni awọn alaye nipa ọpọlọpọ awọn ohun-ini iwunilori ti idogba eekaderi ati awọn ọna ti o nifẹ lati wo wọn.

¹ Ofin ipinnu jẹ ofin ninu eyiti ọjọ iwaju ti pinnu ni iyasọtọ nipasẹ ipo akọkọ. Antonym jẹ ofin iṣeeṣe. ² Ni mathimatiki, "iyatọ" tumọ si gbigba awọn iye lati inu eto kika kan pato. Idakeji ti "tesiwaju".